← Späť na kalkulačku
Manuál
Ohýbaný nosník — manuál
Kompletný sprievodca návrhom a posúdením zváraného I-nosníka. Klopenie, šmyk, kombinácia M+V a priehyb.
Obsah
Účel kalkulačky
Kalkulačka navrhne a posúdi zváraný I-nosník (dvojito symetrický) zaťažený dvoma osamotými silami. Výpočet pokrýva štyri základné kontroly:
- Klopenie — strata priečnej stability pri ohybe (I. medzný stav)
- Šmyková odolnosť — plastická aj pružná kontrola (I. medzný stav)
- Kombinácia M+V — vplyv priečnej sily na momentovú odolnosť
- Priehyb — kontrola deformácie (II. medzný stav)
Typické použitie: Predbežný návrh zváraných oceľových nosníkov v hale, moste, strešnej konštrukcii. Študentské zadania z oceľových konštrukcií.
Obmedzenia: Nosník je prostý (kĺbovo uložený), zaťažený dvoma silami. Pre spojité nosníky, rozdelené zaťaženie alebo iné okrajové podmienky je potrebný presnejší výpočet.
Zaťaženie a materiál
| Parameter | Popis | Jednotka |
|---|---|---|
| L | Rozpätie nosníka | mm |
| Fd | Návrhová sila (jedna sila) | kN |
| γf | Súčiniteľ zaťaženia (Fd → Fk = Fd/γf) | — |
| a₁, a₂ | Pozície síl od ľavej podpory | mm |
| Oceľ | Pevnostná trieda (S 235 – S 460) | — |
Vnútorné sily
Ra = Fd × ((L − a₁) + (L − a₂)) / L
Rb = Fd × (a₁ + a₂) / L
MEd = max(Ra × a₁ ; Rb × (L − a₂)) [kN·m]
VEd = max(Ra ; Rb) [kN]
Automatický návrh rozmerov
Kalkulačka navrhne rozmery prierezu na základe empirických vzťahov:
h ≈ L/8 až L/12 — celková výška nosníka
bf ≈ h/3 až h/4 — šírka pásníc
tf → z Af,potr = Ff/fy — hrúbka pásníc (zaokrúhlená na štandardnú)
tw → empiricky — hrúbka steny
a → min. hrúbka zvaru — účinná výška kútového zvaru
Automatický návrh je východiskový bod — rozmery môžete manuálne upraviť a optimalizovať.
Materiálové konštanty
| Konštanta | Hodnota | Popis |
|---|---|---|
| E | 210 000 MPa | Modul pružnosti ocele |
| G | 81 000 MPa | Modul pružnosti v šmyku |
| γ_M0 | 1,0 | Čiastkový súčiniteľ — odolnosť prierezu |
| γ_M1 | 1,0 | Čiastkový súčiniteľ — stabilita prúta |
Triedy ocele
| Trieda | fy [MPa] | fu [MPa] |
|---|---|---|
| S 235 | 235 | 360 |
| S 275 | 275 | 430 |
| S 355 | 355 | 510 |
| S 420 | 420 | 520 |
| S 460 | 460 | 540 |
Pre pásnice hrubšie ako 40 mm sa medza klzu redukuje — kalkulačka to zohľadňuje automaticky.
Princíp zatriedenia
Prierez sa zatrieďuje do jednej zo štyroch tried podľa pomeru rozmerov tlačených častí k hrúbke. Trieda určuje, aký prierezový modul sa použije pri výpočte odolnosti:
| Trieda | Popis | Prierezový modul |
|---|---|---|
| 1 | Plne plastický — umožňuje tvorbu plastického kĺbu | Wy,pl |
| 2 | Plastický — dosiahne plastickú odolnosť, ale bez rotačnej kapacity | Wy,pl |
| 3 | Pružný — dosiahne pružnú odolnosť, lokálne boulenie bráni plastifikácii | Wy,el |
| 4 | Štíhly — boulenie pred dosiahnutím medze klzu (kalkulačka nenavrhuje) | Wy,eff |
Pásnice (prečnievajúce časti)
cf = bf/2 − tw/2 − z (z = a / cos45°)
ε = √(235 / fy)
Trieda 1: cf/tf ≤ 9ε
Trieda 2: cf/tf ≤ 10ε
Trieda 3: cf/tf ≤ 14ε
Trieda 4: cf/tf > 14ε
Stena (vnútorná ohýbaná časť)
cw = hw − 2z
Trieda 1: cw/tw ≤ 72ε
Trieda 2: cw/tw ≤ 83ε
Trieda 3: cw/tw ≤ 124ε
Trieda 4: cw/tw > 124ε
Celková trieda prierezu = max(trieda pásníc ; trieda steny).
Trieda 4: Kalkulačka prierezy triedy 4 nepodporuje — je potrebný výpočet efektívnych vlastností s uvážením lokálneho boulenia.
Plocha a momenty zotrvačnosti
A₁ = bf × tf (plocha jednej pásnice)
A₂ = tw × hw (plocha steny)
A = 2×A₁ + A₂ (celková plocha prierezu)
z₁ = hw/2 + tf/2 (vzdialenosť ťažiska pásnice od ťažiska prierezu)
Iy = 2×[(1/12)×bf×tf³ + A₁×z₁²] + (1/12)×tw×hw³
Iz = 2×(1/12)×tf×bf³ + (1/12)×hw×tw³
Prierezové moduly
Wy,el = Iy / (h/2) (pružný)
Wy,pl = 2 × [bf×tf×(hw/2 + tf/2) + tw×(hw/2)×(hw/4)] (plastický)
Torzné a výsekové charakteristiky
hs = hw + tf (vzdialenosť ťažísk pásníc)
Iω = Iz × (hs/2)² (výsekový kvádratický moment)
It = (1/3) × (2×A₁×tf² + A₂×tw²) (moment tuhosti v krútení)
Iω a It sú potrebné pre výpočet pružného kritického momentu pri klopení. Pre valcované profily sa berú z katalógu, pre zváraný prierez sa počítajú podľa vyššie uvedených vzorcov.
Čo je klopenie?
Klopenie je strata priečnej stability ohýbaného nosníka — horná (tlačená) pásníca sa vybočí do strany a nosník sa skrúti. Je to analógia vzperu pre ohýbané prvky. Čím je nosník štíhlejší a dlhší, tým je náchylnejší na klopenie.
Pružný kritický moment Mcr
Kalkulačka používa metódu náhradného prúta — kritický segment nosníka sa posudzuje ako samostatný prút s dĺžkou Lseg (najdlhší segment medzi bodmi bočného podopretia alebo medzi silami).
κwt = (π / (kw × Lseg)) × √(E×Iω / (G×It))
μcr = (C₁ / kz) × √(1 + κwt²)
Mcr = μcr × (π / Lseg) × √(E×Iz × G×It)
kde:
kw = 1,0 — faktor krútivého podoprenia
kz = 1,0 — faktor bočného podoprenia
C₁ = 1,0 — faktor priebehu momentu (konzervatívne)
Pomerná štíhlosť a súčiniteľ klopenia
λ̄_LT = √(Wy × fy / Mcr)
Vzperná krivka:
h/bf ≤ 2 → krivka c (α_LT = 0,49)
h/bf > 2 → krivka d (α_LT = 0,76)
Φ_LT = 0,5 × [1 + α_LT × (λ̄_LT − 0,2) + λ̄_LT²]
χ_LT = 1 / (Φ_LT + √(Φ_LT² − λ̄_LT²)) ≤ 1,0
Návrhová odolnosť
Mb,Rd = χ_LT × Wy × fy / γ_M1
Podmienka: MEd / Mb,Rd ≤ 1,0
Čo ovplyvňuje klopenie: Dlhší nosník → väčšia štíhlosť → menší χ_LT. Širšie pásnice (väčšie Iz) → väčší Mcr → menšia štíhlosť → lepšia odolnosť.
Plastická šmyková odolnosť
Šmykovú silu prenáša predovšetkým stena nosníka. Šmyková plocha pre zváraný I-prierez:
Av = η × hw × tw (η = 1,0 pre fy ≤ 460 MPa)
Vpl,Rd = Av × (fy / √3) / γ_M0
Podmienka: VEd / Vpl,Rd ≤ 1,0
Pružná šmyková odolnosť
Maximálne šmykové napätie v ťažiskovej osi (neutrálna os) podľa Žuravského vzorca:
Sy = Af × z₁ + tw × (hw/2) × (hw/4) (statický moment)
τ_Ed = VEd × Sy / (Iy × tw)
τ_Rd = fy / (√3 × γ_M0)
Podmienka: τ_Ed / τ_Rd ≤ 1,0
Plastická kontrola je zvyčajne rozhodujúca. Pružná kontrola overuje maximálne napätie v neutrálnej osi a je dôležitá pri štíhlych stenách.
Kedy sa uvažuje vplyv priečnej sily?
Ak je priečna sila menšia ako polovica plastickej šmykovej odolnosti, jej vplyv na momentovú odolnosť sa zanedbáva:
VEd ≤ Vpl,Rd / 2 → vplyv sa zanedbáva
Redukovaná odolnosť
Ak VEd > Vpl,Rd / 2, medza klzu steny sa redukuje:
ρ = (2 × VEd / Vpl,Rd − 1)²
fyw,red = (1 − ρ) × fy
My,V,Rd = [Wy − ρ × Aw²/(4×tw)] × fy / γ_M0
Podmienka: MEd / My,V,Rd ≤ 1,0
V praxi: ak je VEd blízko Vpl,Rd/2, stačí mierne zväčšiť hrúbku steny tw a interakcia odpadne.
Výpočet priehybu
Priehyb sa počíta z charakteristických hodnôt zaťaženia (Fk = Fd / γf), nie z návrhových:
w = 23 × Fk × L³ / (648 × E × Iy)
Tento vzorec platí pre dve symetricky umiestnené sily
v tretinách rozpätia (a₁ = L/3, a₂ = 2L/3).
Pozor: Pre nesymetrické polohy síl je vzorec aproximáciou. Pre presný výpočet je potrebná integrácia po dĺžke nosníka.
Limitný priehyb
w_lim = L / 400
Podmienka: w / w_lim ≤ 1,0
Limit L/400 je bežná odporúčaná hodnota pre stropné nosníky. Pre strešné konštrukcie sa často používa L/250, pre nosníky s krehkými priečkami L/500. Kalkulačka používa konzervatívny limit L/400.
Nosník L=12 m, Fd=75 kN, oceľ S 355
Zváraný I-nosník, dve sily v tretinách rozpätia (a₁=4000, a₂=8000 mm), γf=1,4.
Vstup:
L = 12 000 mm, Fd = 75 kN, γf = 1,4
Oceľ S 355: fy = 355 MPa, fu = 510 MPa
Sily v tretinách: a₁ = 4000 mm, a₂ = 8000 mm
Vnútorné sily:
Ra = Rb = 75 kN (symetrické zaťaženie)
MEd = 75 × 4,0 = 300 kN·m
VEd = 75 kN
Fk = 75 / 1,4 = 53,57 kN
Automatický návrh (orientačne):
h ≈ 1200 mm, bf ≈ 350 mm
tf = 25 mm, tw = 10 mm, hw = 1150 mm, a = 6 mm
Prierezové charakteristiky:
A = 29 000 mm²
Iy ≈ 2,85 × 10⁹ mm⁴
Wy,pl ≈ 5,00 × 10⁶ mm³
Klopenie:
Lseg = 4000 mm
Mcr ≈ 1500 kN·m (závisí od Iz, Iω, It)
λ̄_LT ≈ 0,6 → χ_LT ≈ 0,8
Mb,Rd = 0,8 × 5,00×10⁶ × 355 / 10⁶ ≈ 1420 kN·m
MEd/Mb,Rd = 300/1420 ≈ 0,21 → VYHOVUJE
Šmyk:
Av = 1150 × 10 = 11500 mm²
Vpl,Rd = 11500 × (355/√3) / 1000 ≈ 2357 kN
VEd/Vpl,Rd = 75/2357 ≈ 0,03 → VYHOVUJE
Interakcia M+V:
VEd = 75 << Vpl,Rd/2 = 1178 → zanedbáva sa
Priehyb:
w = 23 × 53,57×10³ × 12000³ / (648 × 210000 × 2,85×10⁹)
w ≈ 5,5 mm
w_lim = 12000/400 = 30 mm
w/w_lim ≈ 0,18 → VYHOVUJE
Overenie: Zadajte tieto hodnoty do kalkulačky a porovnajte výsledky. Hodnoty sú orientačné a závisia od konkrétnych rozmerov prierezu.
Čo kalkulačka nerieši
- Spojité nosníky, konzoly, rámové konštrukcie
- Rovnomerné zaťaženie (iba bodové sily)
- Prierezy triedy 4 (efektívne vlastnosti)
- Boulenie steny (šmykové boulenie pri štíhlych stenách)
- Priečne výstuhy a ich návrh
- Únavové posúdenie
- Požiarnu odolnosť
- Kombináciu zaťažení (len jedna zaťažovacia situácia)
Upozornenie: Výsledky kalkulačky slúžia ako orientačná pomôcka a nie sú náhradou odborného posudku autorizovaného stavebného inžiniera. Pre stavebné povolenie a realizáciu je potrebný statický výpočet spracovaný oprávnenou osobou v zmysle zákona č. 138/1992 Zb.